Estos seis ejercicios de límites resueltos paso a paso muestran cómo elegir entre sustitución directa, factorización, racionalización y otros procedimientos básicos. Antes de operar, comprueba qué ocurre al sustituir: obtener 0/0 indica que debes analizar la expresión, no que el límite sea cero.
Cómo elegir el procedimiento
Empieza por el dominio y la sustitución cuando corresponda. Si el denominador no tiende a cero y las funciones implicadas son continuas en el punto, puedes evaluar directamente. Si aparece una indeterminación, busca una transformación válida cerca del punto.
Los ejemplos siguientes son desarrollos didácticos independientes de Ingenia. Se muestran completos en la página para poder seguirlos sin descargar archivos.
1. Sustitución directa en un polinomio
- Un polinomio es continuo en todo número real.
- Sustituimos x = 2: 2(2²) − 2 + 3.
- Operamos: 8 − 2 + 3 = 9.
El límite es 9.
No hace falta factorizar una expresión si la sustitución ya permite resolverla.
2. Indeterminación 0/0 y factorización
- Al sustituir aparece 0/0. No se puede aplicar directamente la regla del cociente de límites.
- Factorizamos: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Para x ≠ 3, el cociente se simplifica a x + 3.
- Calculamos el límite de esa expresión: 3 + 3 = 6.
El límite es 6.
La función original sigue sin estar definida en x = 3. El límite describe lo que sucede al aproximarse, no asigna un valor a la función en ese punto.
3. Racionalización mediante el conjugado
- La sustitución produce 0/0.
- Multiplicamos numerador y denominador por √(x + 4) + 2.
- El numerador se transforma en (x + 4) − 4 = x.
- Para x ≠ 0 queda 1/[√(x + 4) + 2].
- Al aproximar x a cero obtenemos 1/(2 + 2).
El límite es 1/4.
El conjugado funciona por la identidad (a − b)(a + b) = a² − b². Debe multiplicar tanto al numerador como al denominador.
4. Límite de una función racional al infinito
- Dividimos numerador y denominador por x².
- Obtenemos (3 + 2/x − 1/x²)/(2 − 5/x²).
- Cuando x crece sin límite, 1/x y 1/x² tienden a cero.
- El denominador tiende a 2, que no es cero.
El límite es 3/2.
No se sustituye el símbolo infinito como si fuera un número. Se estudia el comportamiento de los términos.
5. Un límite trigonométrico
- Reescribimos sen(3x)/x = 3 · sen(3x)/(3x), para x ≠ 0.
- Tomamos t = 3x. Cuando x → 0, también t → 0.
- Aplicamos el límite fundamental sen(t)/t → 1 en radianes.
- Multiplicamos por 3.
El límite es 3.
La unidad angular importa. No traslades esta identidad sin ajuste a una función cuyo argumento se interpreta en grados.
6. Un límite bilateral que no existe
- Si x > 0, entonces |x| = x y el cociente vale 1.
- Si x < 0, entonces |x| = −x y el cociente vale −1.
- El límite por la derecha es 1 y por la izquierda es −1.
El límite bilateral no existe porque los laterales son distintos.
No debe confundirse con un límite infinito: aquí cada lado tiende a un valor finito diferente.
Cómo comprobar y seguir practicando
Una tabla de valores puede apoyar la intuición, pero no demuestra por sí sola un límite. Revisa la transformación algebraica, las restricciones y, cuando sea necesario, ambos lados del punto.
Para organizar el estudio consulta la guía de cálculo de Stewart, donde encontrarás un ejemplo de derivación por regla del cociente. Si utilizas una calculadora, comprueba especialmente los paréntesis y el modo angular.
Fuentes y material de consulta
Consulta documental: 17 de octubre de 2026. La fuente sirve como referencia conceptual; la selección y el desarrollo de los seis ejemplos son una elaboración educativa de Ingenia.